integral of 1/(sqrt(1-x^2))1-x^2)

Lösung

\int \frac{1}{1 - x ^{2}} d (1 - x^{2}) d x

d \frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{1 - x ^{2}} d (1 - x^{2}) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= d \cdot \int \frac{1}{1 - x ^{2}} (1 - x^{2}) d x

Vereinfache

\frac{1}{1 - x ^{2}} (1 - x^{2}) : 1 - x^{2}

= d \cdot \int 1 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

: \int cos^{2} (u) d u

= d \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= d \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= d \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= d \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= d \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (x)

ein

= d \frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= d \frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

\int 2 e^{t} - 3 cos (t) d t

\int x (3 x^{2} + 1)^{4} d x

\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x ln ( x )}) d x

\int - \frac{cos ( 4 x )}{4} d x

\int \frac{2}{3 - 5 x} d x