integral of x^3cos(-3/4 x)

解答

\int x^{3} cos (- \frac{3}{4} x) d x

\frac{4}{27} (9 x^{3} sin (\frac{3}{4} x) - 64 (- \frac{9}{16} x^{2} cos (\frac{3}{4} x) + 2 (\frac{3}{4} x sin (\frac{3}{4} x) + cos (\frac{3}{4} x)))) + C

求解步骤

\int x^{3} cos (- \frac{3}{4} x) d x

使用换元积分法

= \int \frac{256 u ^{3} cos ( u )}{81} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{256}{81} \cdot \int u^{3} cos (u) d u

使用分布积分法

= \frac{256}{81} (u^{3} sin (u) - \int 3 u^{2} sin (u) d u)

\int 3 u^{2} sin (u) d u = 3 (- u^{2} cos (u) + 2 (u sin (u) + cos (u)))

= \frac{256}{81} (u^{3} sin (u) - 3 (- u^{2} cos (u) + 2 (u sin (u) + cos (u))))

u = - \frac{3}{4} x

代回

= \frac{256}{81} ((- \frac{3}{4} x)^{3} sin (- \frac{3}{4} x) - 3 (- (- \frac{3}{4} x)^{2} cos (- \frac{3}{4} x) + 2 ((- \frac{3}{4} x) sin (- \frac{3}{4} x) + cos (- \frac{3}{4} x))))

化简

\frac{256}{81} ((- \frac{3}{4} x)^{3} sin (- \frac{3}{4} x) - 3 (- (- \frac{3}{4} x)^{2} cos (- \frac{3}{4} x) + 2 ((- \frac{3}{4} x) sin (- \frac{3}{4} x) + cos (- \frac{3}{4} x)))) : \frac{4}{27} (9 x^{3} sin (\frac{3}{4} x) - 64 (- \frac{9}{16} x^{2} cos (\frac{3}{4} x) + 2 (\frac{3}{4} x sin (\frac{3}{4} x) + cos (\frac{3}{4} x))))

= \frac{4}{27} (9 x^{3} sin (\frac{3}{4} x) - 64 (- \frac{9}{16} x^{2} cos (\frac{3}{4} x) + 2 (\frac{3}{4} x sin (\frac{3}{4} x) + cos (\frac{3}{4} x))))

解答补常数

= \frac{4}{27} (9 x^{3} sin (\frac{3}{4} x) - 64 (- \frac{9}{16} x^{2} cos (\frac{3}{4} x) + 2 (\frac{3}{4} x sin (\frac{3}{4} x) + cos (\frac{3}{4} x)))) + C

\int \frac{x ^{2}}{( 2 x + 3 ) ( 4 x ^{2} - 1 )} d x

\int \frac{3 x}{2} d x

\int x^{2} e^{6 x^{3}} d x

\int t e^{- \frac{t ^{2}}{2}} d t

\int \frac{1}{36} (t (12 - t)) d t