integral of sqrt(u^2-1)

Lösung

\int u^{2} - 1 d u

\frac{1}{2} u u^{2} - 1 - \frac{1}{2} ln u + u^{2} - 1 + C

Schritte zur Lösung

\int u^{2} - 1 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= - ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

Setze in

v = arcsec (u)

ein

= - ln ∣ tan (arcsec (u)) + sec (arcsec (u)) ∣ + \frac{1}{2} sec (arcsec (u)) tan (arcsec (u)) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arcsec (u)) + sec (arcsec (u)) ∣

Vereinfache

- ln ∣ tan (arcsec (u)) + sec (arcsec (u)) ∣ + \frac{1}{2} sec (arcsec (u)) tan (arcsec (u)) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (arcsec (u)) + sec (arcsec (u)) ∣ : \frac{1}{2} u u^{2} - 1 - \frac{1}{2} ln u + u^{2} - 1

= \frac{1}{2} u u^{2} - 1 - \frac{1}{2} ln u + u^{2} - 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} u u^{2} - 1 - \frac{1}{2} ln u + u^{2} - 1 + C

\int \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} + 3 x + 2} d x

\int \frac{sin ( arctan ( 9 x ) )}{1 + 81 x ^{2}} d x

\int \frac{( t + 2 )}{t} d t

\int \frac{1}{8 x - 4} d x

\int \frac{1}{x ^{2} + 10 x + 9} d x