integral of 1/(y(y-2))

Lösung

\int \frac{1}{y ( y - 2 )} d y

- \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y - 2 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{y ( y - 2 )} d y

Vervollständige das Quadrat

y (y - 2) : (y - 1)^{2} - 1

= \int \frac{1}{( y - 1 ) ^{2} - 1} d y

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= - (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2})

Setze in

u = y - 1

ein

= - (\frac{ln ∣ y - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ y - 1 - 1 ∣}{2})

Vereinfache

- (\frac{ln ∣ y - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ y - 1 - 1 ∣}{2}) : - \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y - 2 ∣

= - \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y - 2 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ y - 2 ∣ + C

\int 2 cot^{2} (θ) - 3 tan^{2} (θ) d θ

\int 3 x + 2 d x

\int \frac{4}{9 x ^{2} + 1} d x

\int \frac{3 x + 1}{x ^{2} ( x ^{2} - 1 )} d x

\int \frac{( e ^{x} - 3 x ^{2} )}{5} d x