integral (sin(x))/(1+cos^2(x))

Lösung

integral

\frac{sin ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )}

arctan (tan^{2} (\frac{x}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ( x )}{1 + cos ^{2} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{sin ( x )}{- sin ^{2} ( x ) + 2} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2 u}{u ^{4} + 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{4} + 1} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (v)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (tan^{2} (\frac{x}{2}))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} arctan (tan^{2} (\frac{x}{2})) : arctan (tan^{2} (\frac{x}{2}))

= arctan (tan^{2} (\frac{x}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arctan (tan^{2} (\frac{x}{2})) + C

\int (\frac{x ^{2}}{3}) d x

\int 13 x sec^{2} (x) d x

\int \frac{- x ^{2} + 3 x + 20}{3 x ^{3} + 12 x} d x

\int - sin (2 x) \cdot 2 d x

\int \frac{- 19 x ^{2} + 50 x - 25}{x ^{2} ( 3 x - 5 )} d x