integral from 0 to pi of sin(t)cos(nt)

解

\int_{0}^{π} sin (t) cos (n t) d t

- \frac{( - 1 ) ^{- n} + 1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}

解答ステップ

\int_{0}^{π} sin (t) cos (n t) d t

次の恒等を使用する:

cos (t) sin (s) = \frac{sin ( s + t ) + sin ( s - t )}{2}

= \int_{0}^{π} \frac{sin ( t + n t ) + sin ( t - n t )}{2} d t

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{π} sin (t + n t) + sin (t - n t) d t

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} sin (t + n t) d t + \int_{0}^{π} sin (t - n t) d t)

\int_{0}^{π} sin (t + n t) d t = \frac{( - 1 ) ^{n} + 1}{1 + n}

\int_{0}^{π} sin (t - n t) d t = \frac{( - 1 ) ^{- n} + 1}{1 - n}

= \frac{1}{2} (\frac{( - 1 ) ^{n} + 1}{1 + n} + \frac{( - 1 ) ^{- n} + 1}{1 - n})

簡素化

\frac{1}{2} (\frac{( - 1 ) ^{n} + 1}{1 + n} + \frac{( - 1 ) ^{- n} + 1}{1 - n}) : - \frac{( - 1 ) ^{- n} + 1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}

= - \frac{( - 1 ) ^{- n} + 1}{( n + 1 ) ( n - 1 )}