integral from y/n to 1 of n(1-x)^{n-1}

解答

\int_{\frac{y}{n}}^{1} n (1 - x)^{n - 1} d x

\frac{( n - y ) ^{n}}{n ^{n}}

求解步骤

\int_{\frac{y}{n}}^{1} n (1 - x)^{n - 1} d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= n \cdot \int_{\frac{y}{n}}^{1} (1 - x)^{- 1 + n} d x

使用换元积分法

= n \cdot \int_{1 - \frac{y}{n}}^{0} - u^{- 1 + n} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= n (- \int_{1 - \frac{y}{n}}^{0} u^{- 1 + n} d u)

使用幂法则

= n (- [\frac{u ^{n}}{n}]_{1 - \frac{y}{n}}^{0})

化简

= - n [\frac{u ^{n}}{n}]_{1 - \frac{y}{n}}^{0}

带入上下限计算后得:

- \frac{( n - y ) ^{n}}{n ^{n + 1}}

= - n (- \frac{( n - y ) ^{n}}{n ^{n + 1}})

化简

= \frac{( n - y ) ^{n}}{n ^{n}}

\int_{8}^{125} 3 x d x

\int_{1}^{3} (x^{2} - 8 x + 15) d x

\int_{0}^{x} \frac{e ^{2 s} - 1}{s} d s

\int_{1}^{4} 4^{5 x} d x

\int_{2}^{3} 24 - 8 x d x