integral from 0 to 2 of e^{x^2-2x}

解

\int_{0}^{2} e^{x^{2} - 2 x} d x

\frac{π erfi ( 1 ) - π erfi ( - 1 )}{2 e}

解答ステップ

\int_{0}^{2} e^{x^{2} - 2 x} d x

平方完成する

x^{2} - 2 x : (x - 1)^{2} - 1

= \int_{0}^{2} e^{(x - 1)^{2} - 1} d x

u置換積分法を適用する

= \int_{- 1}^{1} e^{u^{2} - 1} d u

簡素化

e^{u^{2} - 1} : e^{u^{2}} e^{- 1}

= \int_{- 1}^{1} e^{u^{2}} e^{- 1} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- 1} \cdot \int_{- 1}^{1} e^{u^{2}} d u

指数の規則を適用する:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{e} \cdot \int_{- 1}^{1} e^{u^{2}} d u

非初等積分を使用する:

\int e^{u^{2}} d u = \frac{π}{2} erfi (u)

= \frac{1}{e} [\frac{π}{2} erfi (u)]_{- 1}^{1}

限度を計算する:

\frac{π erfi ( 1 ) - π erfi ( - 1 )}{2}

= \frac{1}{e} \cdot \frac{π erfi ( 1 ) - π erfi ( - 1 )}{2}

簡素化

= \frac{π erfi ( 1 ) - π erfi ( - 1 )}{2 e}