integral de-1 a 1 de 1/(x^2+x+1)

Solución

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x ^{2} + x + 1} d x

\frac{π}{3}

Notación decimal

1.81379 \dots

Pasos de solución

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x ^{2} + x + 1} d x

Completar el cuadrado

x^{2} + x + 1 : (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \int_{- 1}^{1} \frac{1}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{4}{4 u ^{2} + 3} d u

= \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{4}{4 u ^{2} + 3} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{4 u ^{2} + 3} d u

Aplicar integración por sustitución

= 4 \cdot \int_{- \frac{1}{3}}^{3} \frac{1}{2 3 ( v ^{2} + 1 )} d v

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int_{- \frac{1}{3}}^{3} \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Aplicar la regla de integración:

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} [arctan (v)]_{- \frac{1}{3}}^{3}

Simplificar

4 \cdot \frac{1}{2 3} [arctan (v)]_{- \frac{1}{3}}^{3} : \frac{2}{3} [arctan (v)]_{- \frac{1}{3}}^{3}

= \frac{2}{3} [arctan (v)]_{- \frac{1}{3}}^{3}

Calcular los limites:

\frac{π}{2}

= \frac{2}{3} \cdot \frac{π}{2}

Simplificar

= \frac{π}{3}

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 7 cos (x) d x

\int_{1}^{2} x^{3} + 3 x^{2} - 4 x d x

\int_{0}^{5} 3 t - 8 d t

\int_{- 1}^{1} x d x

\int_{2}^{4} 2^{2 x} d x