integral from 2 to 4 of e^{-st}t^2

解

\int_{2}^{4} e^{- s t} t^{2} d t

\frac{- 16 e ^{- 4 s} + 4 e ^{- 2 s}}{s} + \frac{- 8 e ^{- 4 s} + 4 e ^{- 2 s}}{s ^{2}} + \frac{- 2 e ^{- 4 s} + 2 e ^{- 2 s}}{s ^{3}}

解答ステップ

\int_{2}^{4} e^{- s t} t^{2} d t

部分積分を適用する

= [- e^{- s t} \frac{1}{s} t^{2} - \int - e^{- s t} \frac{2}{s} t d t]_{2}^{4}

\int - e^{- s t} \frac{2}{s} t d t = - \frac{2}{s ^{3}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t})

= [- e^{- s t} \frac{1}{s} t^{2} - (- \frac{2}{s ^{3}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t}))]_{2}^{4}

簡素化

= [- e^{- s t} \frac{1}{s} t^{2} + \frac{2}{s ^{3}} (- s e^{- s t} t - e^{- s t})]_{2}^{4}

限度を計算する:

- e^{- 4 s} \frac{16}{s} - \frac{8 e ^{- 4 s}}{s ^{2}} - e^{- 4 s} \frac{2}{s ^{3}} + e^{- 2 s} \frac{4}{s} + \frac{4 e ^{- 2 s}}{s ^{2}} + e^{- 2 s} \frac{2}{s ^{3}}

= - e^{- 4 s} \frac{16}{s} - \frac{8 e ^{- 4 s}}{s ^{2}} - e^{- 4 s} \frac{2}{s ^{3}} + e^{- 2 s} \frac{4}{s} + \frac{4 e ^{- 2 s}}{s ^{2}} + e^{- 2 s} \frac{2}{s ^{3}}

簡素化

= \frac{- 16 e ^{- 4 s} + 4 e ^{- 2 s}}{s} + \frac{- 8 e ^{- 4 s} + 4 e ^{- 2 s}}{s ^{2}} + \frac{- 2 e ^{- 4 s} + 2 e ^{- 2 s}}{s ^{3}}