integral from 0 to 1 of xcos(wx)

解

\int_{0}^{1} x cos (w x) d x

\frac{w sin ( w ) + cos ( w ) - 1}{w ^{2}}

解答ステップ

\int_{0}^{1} x cos (w x) d x

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{w} \frac{u cos ( u )}{w ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{w ^{2}} \cdot \int_{0}^{w} u cos (u) d u

部分積分を適用する

= \frac{1}{w ^{2}} [u sin (u) - \int sin (u) d u]_{0}^{w}

\int sin (u) d u = - cos (u)

= \frac{1}{w ^{2}} [u sin (u) - (- cos (u))]_{0}^{w}

簡素化

= \frac{1}{w ^{2}} [u sin (u) + cos (u)]_{0}^{w}

限度を計算する:

w sin (w) + cos (w) - 1

= \frac{1}{w ^{2}} (w sin (w) + cos (w) - 1)

簡素化

= \frac{w sin ( w ) + cos ( w ) - 1}{w ^{2}}