integral de 0 a x de sin(2t^2)

Solução

\int_{0}^{x} sin (2 t^{2}) d t

\frac{1}{2} (\frac{π}{2} § (\frac{2}{π} 2 x) - \frac{π}{2} § (\frac{2}{π} \cdot 0))

Passos da solução

\int_{0}^{x} sin (2 t^{2}) d t

Aplicar integração por substituição

= \int_{0}^{2 x} \frac{1}{2} sin (\frac{u ^{2}}{2}) d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2 x} sin (\frac{u ^{2}}{2}) d u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{u ^{2}}{2} = (\frac{u}{2})^{2}

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2 x} sin ((\frac{u}{2})^{2}) d u

Aplicar integração por substituição

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2 x} sin (v^{2}) 2 d v

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} 2 \cdot \int_{0}^{2 x} sin (v^{2}) d v

Esta é uma integral não elementar:

\int sin (x^{2}) d x = \frac{π}{2} § (\frac{2}{π} x)

= \frac{1}{2} 2 [\frac{π}{2} § (\frac{2}{π} v)]_{0}^{2 x}

Simplificar

\frac{1}{2} 2 [\frac{π}{2} § (\frac{2}{π} v)]_{0}^{2 x} : \frac{1}{2} [\frac{π}{2} § (\frac{2}{π} v)]_{0}^{2 x}

= \frac{1}{2} [\frac{π}{2} § (\frac{2}{π} v)]_{0}^{2 x}

Calcular os limites:

\frac{π}{2} § (\frac{2}{π} 2 x) - \frac{π}{2} § (\frac{2}{π} \cdot 0)

= \frac{1}{2} (\frac{π}{2} § (\frac{2}{π} 2 x) - \frac{π}{2} § (\frac{2}{π} \cdot 0))

\int_{2}^{6} \frac{x}{2} + 1 d x

\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 sin (x) d x

\int_{1}^{3} \frac{1}{( x + 1 ) x} d x

\int_{1}^{8} \frac{12 x}{x ^{2} + 6} d x

\int_{1}^{2} (2 x + 4) d x