integral from 1 to t of 1/((2x+1)^3)

解

\int_{1}^{t} \frac{1}{( 2 x + 1 ) ^{3}} d x

\frac{t ^{2} + t - 2}{9 ( 2 t + 1 ) ^{2}}

解答ステップ

\int_{1}^{t} \frac{1}{( 2 x + 1 ) ^{3}} d x

u置換積分法を適用する

= \int_{3}^{1 + 2 t} \frac{1}{2 u ^{3}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{3}^{1 + 2 t} \frac{1}{u ^{3}} d u

べき乗則を適用する

= \frac{1}{2} [- \frac{1}{2 u ^{2}}]_{3}^{1 + 2 t}

限度を計算する:

- \frac{1}{2 ( 1 + 2 t ) ^{2}} + \frac{1}{18}

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ( 1 + 2 t ) ^{2}} + \frac{1}{18})

簡素化

= \frac{t ^{2} + t - 2}{9 ( 2 t + 1 ) ^{2}}