integral from 0 to x of 1/(2+sin(t))

Lời Giải

\int_{0}^{x} \frac{1}{2 + sin ( t )} d t

\frac{2}{3} arctan (\frac{2 tan ( \frac{x}{2} ) + 1}{3}) - \frac{π}{3 3}

Các bước giải pháp

\int_{0}^{x} \frac{1}{2 + sin ( t )} d t

Áp dụng Phép đổi biến tích phân

= \int_{0}^{t a n (\frac{x}{2})} \frac{1}{u ^{2} + 1 + u} d u

Hoàn thành bình phương

u^{2} + 1 + u : (u + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \int_{0}^{t a n (\frac{x}{2})} \frac{1}{( u + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d u

Áp dụng Phép đổi biến tích phân

= \int_{\frac{1}{2}}^{t a n (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}} \frac{4}{4 v ^{2} + 3} d v

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int_{\frac{1}{2}}^{t a n (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}} \frac{1}{4 v ^{2} + 3} d v

Áp dụng Phép đổi biến tích phân

= 4 \cdot \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3} (t a n (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2})} \frac{1}{2 3 ( w ^{2} + 1 )} d w

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3} (t a n (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2})} \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Sử dụng tích phân chung:

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} [arctan (w)]_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3} (t a n (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2})}

Rút gọn

4 \cdot \frac{1}{2 3} [arctan (w)]_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3} (t a n (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2})} : \frac{2}{3} [arctan (w)]_{\frac{1}{3}}^{\frac{2 t a n ( \frac{x}{2} ) + 1}{3}}

= \frac{2}{3} [arctan (w)]_{\frac{1}{3}}^{\frac{2 t a n ( \frac{x}{2} ) + 1}{3}}

Tính toán các giới hạn:

arctan (\frac{2 tan ( \frac{x}{2} ) + 1}{3}) - \frac{π}{6}

= \frac{2}{3} (arctan (\frac{2 tan ( \frac{x}{2} ) + 1}{3}) - \frac{π}{6})

Rút gọn

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 tan ( \frac{x}{2} ) + 1}{3}) - \frac{π}{3 3}

\int_{1}^{2} - \frac{1}{2} x + 1 d x

\int_{1}^{2} x cos (x y) d y

\int_{- 3}^{3} (12 - x^{2} - (x^{2} - 6)) d x

\int_{0}^{1} 2 e^{\frac{x}{3} + 4} d x

\int_{1}^{\infty} 6 x^{- 7} d x