integral from x^2 to x^4 of (2t-1)^3

解

\int_{x^{2}}^{x^{4}} (2 t - 1)^{3} d t

x^{2} (2 x^{14} - 4 x^{10} + x^{6} + 4 x^{4} - 4 x^{2} + 1)

解答ステップ

\int_{x^{2}}^{x^{4}} (2 t - 1)^{3} d t

u置換積分法を適用する

= \int_{2 x^{2} - 1}^{2 x^{4} - 1} \frac{u ^{3}}{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{2 x^{2} - 1}^{2 x^{4} - 1} u^{3} d u

べき乗則を適用する

= \frac{1}{2} [\frac{u ^{4}}{4}]_{2 x^{2} - 1}^{2 x^{4} - 1}

限度を計算する:

\frac{( 2 x ^{4} - 1 ) ^{4}}{4} - \frac{( 2 x ^{2} - 1 ) ^{4}}{4}

= \frac{1}{2} (\frac{( 2 x ^{4} - 1 ) ^{4}}{4} - \frac{( 2 x ^{2} - 1 ) ^{4}}{4})

簡素化

= x^{2} (2 x^{14} - 4 x^{10} + x^{6} + 4 x^{4} - 4 x^{2} + 1)