integral from 0 to t of y(t-w)e^{-4w}

解答

\int_{0}^{t} y (t - w) e^{- 4 w} d w

y (- \frac{t ( e ^{- 4 t} - 1 )}{4} - \frac{1}{16} (- 4 t e^{- 4 t} - e^{- 4 t} + 1))

求解步骤

\int_{0}^{t} y (t - w) e^{- 4 w} d w

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y \cdot \int_{0}^{t} (t - w) e^{- 4 w} d w

乘开

(t - w) e^{- 4 w} : t e^{- 4 w} - e^{- 4 w} w

= y \cdot \int_{0}^{t} t e^{- 4 w} - e^{- 4 w} w d w

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= y (\int_{0}^{t} t e^{- 4 w} d w - \int_{0}^{t} e^{- 4 w} w d w)

\int_{0}^{t} t e^{- 4 w} d w = - \frac{t ( e ^{- 4 t} - 1 )}{4}

\int_{0}^{t} e^{- 4 w} w d w = \frac{1}{16} (- 4 t e^{- 4 t} - e^{- 4 t} + 1)

= y (- \frac{t ( e ^{- 4 t} - 1 )}{4} - \frac{1}{16} (- 4 t e^{- 4 t} - e^{- 4 t} + 1))

\int_{0}^{1} y e^{- y^{2}} d y

\int_{- 4}^{1} 2 - x d x

\int_{1}^{10} 1

\int_{0}^{2} (2 x + 3)^{2} d x

\int_{1}^{2} (30 x^{3} + \frac{6}{x ^{2}}) d x