integral of (x^3+6x-2)/(x^4+6x^2)

解

\int \frac{x ^{3} + 6 x - 2}{x ^{4} + 6 x ^{2}} d x

ln ∣ x ∣ + \frac{1}{3 x} + \frac{1}{3 6} arctan (\frac{x}{6}) + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{3} + 6 x - 2}{x ^{4} + 6 x ^{2}} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{x ^{3} + 6 x - 2}{x ^{4} + 6 x ^{2}} : \frac{1}{x} - \frac{1}{3 x ^{2}} + \frac{1}{3 ( x ^{2} + 6 )}

= \int \frac{1}{x} - \frac{1}{3 x ^{2}} + \frac{1}{3 ( x ^{2} + 6 )} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{x} d x - \int \frac{1}{3 x ^{2}} d x + \int \frac{1}{3 ( x ^{2} + 6 )} d x

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣

\int \frac{1}{3 x ^{2}} d x = - \frac{1}{3 x}

\int \frac{1}{3 ( x ^{2} + 6 )} d x = \frac{1}{3 6} arctan (\frac{x}{6})

= ln ∣ x ∣ - (- \frac{1}{3 x}) + \frac{1}{3 6} arctan (\frac{x}{6})

簡素化

= ln ∣ x ∣ + \frac{1}{3 x} + \frac{1}{3 6} arctan (\frac{x}{6})

定数を解答に追加する

= ln ∣ x ∣ + \frac{1}{3 x} + \frac{1}{3 6} arctan (\frac{x}{6}) + C