inverselaplace (10)/(s(s^2+8s+25))

解

逆ラプラス

\frac{10}{s ( s ^{2} + 8 s + 25 )}

\frac{2}{5} H (t) - \frac{2}{5} e^{- 4 t} cos (3 t) - \frac{8}{15} e^{- 4 t} sin (3 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{10}{s ( s ^{2} + 8 s + 25 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{10}{s ( s ^{2} + 8 s + 25 )} : \frac{2}{5 s} + \frac{- 2 s - 16}{5 ( s ^{2} + 8 s + 25 )}

= L^{- 1} {\frac{2}{5 s} + \frac{- 2 s - 16}{5 ( s ^{2} + 8 s + 25 )}}

拡張

\frac{- 2 s - 16}{5 ( s ^{2} + 8 s + 25 )} : - \frac{2}{5} \cdot \frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 9} - \frac{8}{5} \cdot \frac{1}{( s + 4 ) ^{2} + 9}

= L^{- 1} {\frac{2}{5 s} - \frac{2}{5} \cdot \frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 9} - \frac{8}{5} \cdot \frac{1}{( s + 4 ) ^{2} + 9}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{2}{5 s}} - \frac{2}{5} L^{- 1} {\frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 9}} - \frac{8}{5} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 4 ) ^{2} + 9}}

L^{- 1} {\frac{2}{5 s}} : \frac{2}{5} H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 4}{( s + 4 ) ^{2} + 9}} : e^{- 4 t} cos (3 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 4 ) ^{2} + 9}} : e^{- 4 t} \frac{1}{3} sin (3 t)

= \frac{2}{5} H (t) - \frac{2}{5} e^{- 4 t} cos (3 t) - \frac{8}{5} e^{- 4 t} \frac{1}{3} sin (3 t)

改良

\frac{2}{5} H (t) - \frac{2}{5} e^{- 4 t} cos (3 t) - \frac{8}{5} e^{- 4 t} \frac{1}{3} sin (3 t) : \frac{2}{5} H (t) - \frac{2}{5} e^{- 4 t} cos (3 t) - \frac{8}{15} e^{- 4 t} sin (3 t)

= \frac{2}{5} H (t) - \frac{2}{5} e^{- 4 t} cos (3 t) - \frac{8}{15} e^{- 4 t} sin (3 t)