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integral 2x(x^2+1)^{1/2}

Solución

integral

2 x (x^{2} + 1)^{\frac{1}{2}}

\frac{2}{3} (x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}} + C

Pasos de solución

\int 2 x (x^{2} + 1)^{\frac{1}{2}} d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int x (x^{2} + 1)^{\frac{1}{2}} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{( u + 1 ) ^{\frac{1}{2}}}{2} d u

= 2 \cdot \int \frac{( u + 1 ) ^{\frac{1}{2}}}{2} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int (u + 1)^{\frac{1}{2}} d u

Multiplicar por el conjugado de

u + 1 : \frac{u ^{2} - 1}{u - 1}

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int (\frac{u ^{2} - 1}{u - 1})^{\frac{1}{2}} d u

Aplicar integración por sustitución

: \int (v + 2)^{\frac{1}{2}} d v

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int (v + 2)^{\frac{1}{2}} d v

Aplicar integración por sustitución

: \int w^{\frac{1}{2}} d w

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int w^{\frac{1}{2}} d w

Aplicar la regla de la potencia

: \frac{2}{3} w^{\frac{3}{2}}

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} w^{\frac{3}{2}}

Sustitución hacia atrás

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (x^{2} - 1 + 2)^{\frac{3}{2}}

Simplificar

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (x^{2} - 1 + 2)^{\frac{3}{2}} : \frac{2}{3} (x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}}

= \frac{2}{3} (x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}}

Agregar una constante a la solución

= \frac{2}{3} (x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}} + C

\frac{1}{- x}

\frac{( y + 1 )}{( y - 1 )}

\frac{1}{z}

cos^{8} (x)

(- 1)^{x}