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integral 1/((e^x+e^{-x))^2}

Solución

integral

\frac{1}{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}}

- \frac{1}{2 ( e ^{2 x} + 1 )} + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}} d x

Factorizar

\frac{1}{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2}}

= \int \frac{1}{( e ^{- x} ( e ^{2 x} + 1 ) ) ^{2}} d x

(e^{- x} (e^{2 x} + 1))^{2} = e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}

= \int \frac{1}{e ^{2 x} + 2 + e ^{- 2 x}} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{2 ( u ^{2} + 2 u + 1 )} d u

= \int \frac{1}{2 ( u ^{2} + 2 u + 1 )} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 2 u + 1} d u

Completar el cuadrado

u^{2} + 2 u + 1 : (u + 1)^{2}

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}} d u

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{v ^{2}} d v

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2}} d v

Aplicar la regla de la potencia

: - \frac{1}{v}

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{v})

Sustitución hacia atrás

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{e ^{2 x} + 1})

Simplificar

\frac{1}{2} (- \frac{1}{e ^{2 x} + 1}) : - \frac{1}{2 ( e ^{2 x} + 1 )}

= - \frac{1}{2 ( e ^{2 x} + 1 )}

Agregar una constante a la solución

= - \frac{1}{2 ( e ^{2 x} + 1 )} + C

\frac{x}{( x + 1 )}

3 - 2 x

\frac{2}{( 3 + e ^{x} )}

\frac{sin ( y )}{cos ^{2} ( y )}

tan (x) + \frac{1}{x}