integral 1/(x(x^8-1))

Lösung

integral

\frac{1}{x ( x ^{8} - 1 )}

\frac{1}{8} (- 8 ln (x) + ln - 1 + x^{8}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ( x ^{8} - 1 )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{8 ( u + 1 ) u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1}{( u + 1 ) u} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{( u + 1 ) u} : - \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}

= \frac{1}{8} \cdot \int - \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{8} (- \int \frac{1}{u + 1} d u + \int \frac{1}{u} d u)

\int \frac{1}{u + 1} d u = ln ∣ u + 1 ∣

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

= \frac{1}{8} (- ln ∣ u + 1 ∣ + ln ∣ u ∣)

Setze in

u = - 1 + x^{8}

ein

= \frac{1}{8} (- ln - 1 + x^{8} + 1 + ln - 1 + x^{8})

Vereinfache

\frac{1}{8} (- ln - 1 + x^{8} + 1 + ln - 1 + x^{8}) : \frac{1}{8} (- 8 ln (x) + ln - 1 + x^{8})

= \frac{1}{8} (- 8 ln (x) + ln - 1 + x^{8})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{8} (- 8 ln (x) + ln - 1 + x^{8}) + C

in t e g r a l \frac{( 8 x + 2 )}{x}

in t e g r a l \frac{5}{x ^{4}}

in t e g r a l \frac{( 3 x - 2 )}{( 2 x - 1 )}

in t e g r a l - 2 cos (2 x)

in t e g r a l \frac{( 16 - x )}{( 4 + x )}