integral 2/((x^2+1)^2)

Lösung

integral

\frac{2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( u ) cos ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 2 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arctan (x)

ein

= 2 \cdot \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x)))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x))) : arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}

= arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}} + C

in t e g r a l 2 + 2 cos^{4} (t)

in t e g r a l (\frac{1 + 1}{x ^{2}}) e^{\frac{x - 1}{x}}

in t e g r a l \frac{4 x}{( x ^{3} - x ^{2} - x + 1 )}

in t e g r a l x \cdot (x - 1)^{3}

in t e g r a l (x - 1)^{4}