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integral 1/((2^t-1))

Lösung

integral

\frac{1}{( 2 ^{t} - 1 )}

Lösung

\frac{- ln ( 2 ) t + ln ∣ - 2 ^{t} + 1 ∣}{ln ( 2 )} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 ^{t} - 1} d t

Faktorisiere

2^{t} - 1 : - (- 2^{t} + 1)

= \int \frac{1}{- ( - 2 ^{t} + 1 )} d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- 2 ^{t} + 1} d t

Wende U-Substitution an

= - \int - \frac{1}{ln ( 2 ) ( - u + 1 ) u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- \frac{1}{ln ( 2 )} \cdot \int \frac{1}{( - u + 1 ) u} d u)

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{( - u + 1 ) u} : - \frac{1}{u - 1} + \frac{1}{u}

= - (- \frac{1}{ln ( 2 )} \cdot \int - \frac{1}{u - 1} + \frac{1}{u} d u)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \frac{1}{ln ( 2 )} (- \int \frac{1}{u - 1} d u + \int \frac{1}{u} d u))

\int \frac{1}{u - 1} d u = ln ∣ u - 1 ∣

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

= - (- \frac{1}{ln ( 2 )} (- ln ∣ u - 1 ∣ + ln ∣ u ∣))

Setze in

u = - 2^{t} + 1

ein

= - (- \frac{1}{ln ( 2 )} (- ln - 2^{t} + 1 - 1 + ln - 2^{t} + 1))

Vereinfache

- (- \frac{1}{ln ( 2 )} (- ln - 2^{t} + 1 - 1 + ln - 2^{t} + 1)) : \frac{- ln ( 2 ) t + ln ∣ - 2 ^{t} + 1 ∣}{ln ( 2 )}

= \frac{- ln ( 2 ) t + ln ∣ - 2 ^{t} + 1 ∣}{ln ( 2 )}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{- ln ( 2 ) t + ln ∣ - 2 ^{t} + 1 ∣}{ln ( 2 )} + C

Graph

Beliebte Beispiele

integral 4x^2+3x+2*2(x+1)

in t e g r a l 4 x^{2} + 3 x + 2 \cdot 2 (x + 1)

integral cos^2(x/4)

in t e g r a l cos^{2} (\frac{x}{4})

integral (1/(x^4))sin(x)

in t e g r a l (\frac{1}{x ^{4}}) sin (x)

integral cos((1/4)x)

in t e g r a l cos ((\frac{1}{4}) x)

integral ((1+x)^3)/x

in t e g r a l \frac{( 1 + x ) ^{3}}{x}