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人気のある微分積分 >

積分記号 ((x^3))/((x^2+2x+1))

解

積分記号

\frac{( x ^{3} )}{( x ^{2} + 2 x + 1 )}

解

\frac{1}{2} (x + 1)^{2} - 3 (x + 1) + 3 ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 2 x + 1} d x

平方完成する

x^{2} + 2 x + 1 : (x + 1)^{2}

= \int \frac{x ^{3}}{( x + 1 ) ^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{( u - 1 ) ^{3}}{u ^{2}} d u

拡張

\frac{( u - 1 ) ^{3}}{u ^{2}} : u - 3 + \frac{3}{u} - \frac{1}{u ^{2}}

= \int u - 3 + \frac{3}{u} - \frac{1}{u ^{2}} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int u d u - \int 3 d u + \int \frac{3}{u} d u - \int \frac{1}{u ^{2}} d u

\int u d u = \frac{u ^{2}}{2}

\int 3 d u = 3 u

\int \frac{3}{u} d u = 3 ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

= \frac{u ^{2}}{2} - 3 u + 3 ln ∣ u ∣ - (- \frac{1}{u})

代用を戻す

u = x + 1

= \frac{( x + 1 ) ^{2}}{2} - 3 (x + 1) + 3 ln ∣ x + 1 ∣ - (- \frac{1}{x + 1})

簡素化

\frac{( x + 1 ) ^{2}}{2} - 3 (x + 1) + 3 ln ∣ x + 1 ∣ - (- \frac{1}{x + 1}) : \frac{1}{2} (x + 1)^{2} - 3 (x + 1) + 3 ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1}

= \frac{1}{2} (x + 1)^{2} - 3 (x + 1) + 3 ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (x + 1)^{2} - 3 (x + 1) + 3 ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1} + C

グラフ

人気の例

積分記号 (cos^2(x))/((1+sin^2(x)))

in t e g r a l \frac{cos ^{2} ( x )}{( 1 + sin ^{2} ( x ) )}

積分記号 (200)/(x^3)

in t e g r a l \frac{200}{x ^{3}}

積分記号-5x^2

in t e g r a l - 5 x^{2}

積分記号 1/((2x^2+6x-8))

in t e g r a l \frac{1}{( 2 x ^{2} + 6 x - 8 )}

積分記号 x(x-1)(x+1)

in t e g r a l x (x - 1) (x + 1)