integral of (2x^4-8x^3)*e^{-3x}

解

\int (2 x^{4} - 8 x^{3}) \cdot e^{- 3 x} d x

- \frac{2}{3} e^{- 3 x} x^{4} + \frac{16}{9} e^{- 3 x} x^{3} + \frac{16}{9} e^{- 3 x} x^{2} + \frac{32}{27} e^{- 3 x} x + \frac{32}{81} e^{- 3 x} + C

解答ステップ

\int (2 x^{4} - 8 x^{3}) e^{- 3 x} d x

拡張

(2 x^{4} - 8 x^{3}) e^{- 3 x} : 2 e^{- 3 x} x^{4} - 8 e^{- 3 x} x^{3}

= \int 2 e^{- 3 x} x^{4} - 8 e^{- 3 x} x^{3} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 2 e^{- 3 x} x^{4} d x - \int 8 e^{- 3 x} x^{3} d x

\int 2 e^{- 3 x} x^{4} d x = 2 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{4} + \frac{4}{3} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{3} - \frac{1}{27} (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}))))

\int 8 e^{- 3 x} x^{3} d x = 8 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{3} - \frac{1}{27} (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x})))

= 2 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{4} + \frac{4}{3} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{3} - \frac{1}{27} (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x})))) - 8 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{3} - \frac{1}{27} (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x})))

簡素化

2 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{4} + \frac{4}{3} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{3} - \frac{1}{27} (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x})))) - 8 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x^{3} - \frac{1}{27} (9 e^{- 3 x} x^{2} - 2 (- 3 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}))) : - \frac{2}{3} e^{- 3 x} x^{4} + \frac{16}{9} e^{- 3 x} x^{3} + \frac{16}{9} e^{- 3 x} x^{2} + \frac{32}{27} e^{- 3 x} x + \frac{32}{81} e^{- 3 x}

= - \frac{2}{3} e^{- 3 x} x^{4} + \frac{16}{9} e^{- 3 x} x^{3} + \frac{16}{9} e^{- 3 x} x^{2} + \frac{32}{27} e^{- 3 x} x + \frac{32}{81} e^{- 3 x}

定数を解答に追加する

= - \frac{2}{3} e^{- 3 x} x^{4} + \frac{16}{9} e^{- 3 x} x^{3} + \frac{16}{9} e^{- 3 x} x^{2} + \frac{32}{27} e^{- 3 x} x + \frac{32}{81} e^{- 3 x} + C