integral of 1/(sqrt(1-cos(2x)))

Lösung

\int \frac{1}{1 - cos ( 2 x )} d x

\frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{1 - cos ( 2 x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{2 sin ^{2} ( x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{sin ^{2} ( x )} d x

sin^{2} (x) = (sin (x)),

angenommen

sin (x) \geq 0

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

= \frac{1}{2} ln ∣ u ∣

Setze in

u = tan (\frac{x}{2})

ein

= \frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} ln tan (\frac{x}{2}) + C

\int \frac{1}{( 2 x - 3 ) 5 - 12 x + 4 x ^{2}} d x

\int (t - \frac{2}{t}) (t + \frac{2}{t}) d t

\int \frac{x}{( 9 + x ^{2} ) ^{3}} d x

\int \frac{1}{( 1 + y ) y} d y

\int - \frac{12 e ^{3 x}}{e ^{3 x} + 4} d x