integral of (x^6+2x^3+6)/(x^5-x)

解

\int \frac{x ^{6} + 2 x ^{3} + 6}{x ^{5} - x} d x

\frac{x ^{2}}{2} - 6 ln ∣ x ∣ + \frac{5}{4} ln x^{2} + 1 + arctan (x) + \frac{5}{4} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{9}{4} ln ∣ x - 1 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{6} + 2 x ^{3} + 6}{x ^{5} - x} d x

長除法

\frac{x ^{6} + 2 x ^{3} + 6}{x ^{5} - x} : x + \frac{2 x ^{3} + x ^{2} + 6}{x ^{5} - x}

= \int x + \frac{2 x ^{3} + x ^{2} + 6}{x ^{5} - x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x d x + \int \frac{2 x ^{3} + x ^{2} + 6}{x ^{5} - x} d x

\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}

\int \frac{2 x ^{3} + x ^{2} + 6}{x ^{5} - x} d x = - 6 ln ∣ x ∣ + \frac{5}{4} ln x^{2} + 1 + arctan (x) + \frac{5}{4} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{9}{4} ln ∣ x - 1 ∣

= \frac{x ^{2}}{2} - 6 ln ∣ x ∣ + \frac{5}{4} ln x^{2} + 1 + arctan (x) + \frac{5}{4} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{9}{4} ln ∣ x - 1 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{2}}{2} - 6 ln ∣ x ∣ + \frac{5}{4} ln x^{2} + 1 + arctan (x) + \frac{5}{4} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{9}{4} ln ∣ x - 1 ∣ + C