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integral of (e^{2x}+1)^2

解答

\int (e^{2 x} + 1)^{2} d x

解答

\frac{1}{4} e^{4 x} + e^{2 x} + x + C

求解步骤

\int (e^{2 x} + 1)^{2} d x

使用换元积分法

= \int \frac{( e ^{u} + 1 ) ^{2}}{2} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int (e^{u} + 1)^{2} d u

使用换元积分法

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{( v + 1 ) ^{2}}{v} d v

乘开

\frac{( v + 1 ) ^{2}}{v} : v + 2 + \frac{1}{v}

= \frac{1}{2} \cdot \int v + 2 + \frac{1}{v} d v

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int v d v + \int 2 d v + \int \frac{1}{v} d v)

\int v d v = \frac{v ^{2}}{2}

\int 2 d v = 2 v

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

= \frac{1}{2} (\frac{v ^{2}}{2} + 2 v + ln ∣ v ∣)

代回

= \frac{1}{2} (\frac{( e ^{2 x} ) ^{2}}{2} + 2 e^{2 x} + ln e^{2 x})

化简

\frac{1}{2} (\frac{( e ^{2 x} ) ^{2}}{2} + 2 e^{2 x} + ln e^{2 x}) : \frac{1}{4} e^{4 x} + e^{2 x} + x

= \frac{1}{4} e^{4 x} + e^{2 x} + x

解答补常数

= \frac{1}{4} e^{4 x} + e^{2 x} + x + C

作图

流行的例子

integral of sqrt(1+sin(y))

\int 1 + sin (y) d y

integral of 1/(xsqrt(4x^2+81))

\int \frac{1}{x 4 x ^{2} + 81} d x

integral of 5x^5(x^3+2)^{15}

\int 5 x^{5} (x^{3} + 2)^{15} d x

integral of y^3sqrt(y^4-5)

\int y^{3} y^{4} - 5 d y

integral of cos(x)(sqrt(9+25sin^2(x)))

\int cos (x) (9 + 25 sin^{2} (x)) d x