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integral of 4sqrt(1-5x^2)

Lösung

\int 4 1 - 5 x^{2} d x

\frac{1}{5} (2 arcsin (5 x) + sin (2 arcsin (5 x))) + C

Schritte zur Lösung

\int 4 1 - 5 x^{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int 1 - 5 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 4 \cdot \int \frac{1}{5} cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (5 x)

ein

= 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (5 x)))

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (5 x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (5 x))) : \frac{1}{5} (2 arcsin (5 x) + sin (2 arcsin (5 x)))

= \frac{1}{5} (2 arcsin (5 x) + sin (2 arcsin (5 x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{5} (2 arcsin (5 x) + sin (2 arcsin (5 x))) + C

\int \frac{8}{x ( x ^{2} + 4 )} d x

\int \frac{x ^{3}}{x - 4} d x

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 100 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\int tan^{7} (x) sec^{6} (x) d x

\int 4 sin (2 x) cos (2 x) d x