интеграл от 1/((16+9x^2)^2)

Решение

\int \frac{1}{( 16 + 9 x ^{2} ) ^{2}} d x

\frac{1}{384} (arctan (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{3}{4} x))) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{( 16 + 9 x ^{2} ) ^{2}} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{192 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{192} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Примените тригонометрическую подстановку

: \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

= \frac{1}{192} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{192} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{192} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{192} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{192} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Делаем обратную замену

= \frac{1}{192} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{3}{4} x)))

Упростите

\frac{1}{192} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{3}{4} x))) : \frac{1}{384} (arctan (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{3}{4} x)))

= \frac{1}{384} (arctan (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{3}{4} x)))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{384} (arctan (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{3}{4} x))) + C