integral of e^{-x}sin(x)cos(x)

Lời Giải

\int e^{- x} sin (x) cos (x) d x

\frac{1}{10} (- 2 e^{- x} cos (2 x) - e^{- x} sin (2 x)) + C

Các bước giải pháp

\int e^{- x} sin (x) cos (x) d x

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

= \int \frac{1}{2} e^{- x} sin (2 x) d x

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{- x} sin (2 x) d x

Áp dụng tích phân từng phần

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) - \int \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) d x)

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) - \frac{1}{2} \cdot \int e^{- x} cos (2 x) d x)

Áp dụng tích phân từng phần

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{- x} sin (2 x) - \int - \frac{1}{2} e^{- x} sin (2 x) d x))

Đưa hằng số ra ngoài:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{- x} sin (2 x) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{- x} sin (2 x) d x)))

Vì vậy

\frac{1}{2} \cdot \int e^{- x} sin (2 x) d x = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x} cos (2 x) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{- x} sin (2 x) - (- \frac{1}{2} \cdot \int e^{- x} sin (2 x) d x)))

Cô lập

\int e^{- x} sin (2 x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{2 e ^{- x} cos ( 2 x )}{5} - \frac{e ^{- x} sin ( 2 x )}{5})

Rút gọn

\frac{1}{2} (- \frac{2 e ^{- x} cos ( 2 x )}{5} - \frac{e ^{- x} sin ( 2 x )}{5}) : \frac{1}{10} (- 2 e^{- x} cos (2 x) - e^{- x} sin (2 x))

= \frac{1}{10} (- 2 e^{- x} cos (2 x) - e^{- x} sin (2 x))

Thêm một hằng số vào Lời giải

= \frac{1}{10} (- 2 e^{- x} cos (2 x) - e^{- x} sin (2 x)) + C

\int 5 sec^{2} (5 x) d x

\int 3 (3 x + 4)^{2} d x

\int \frac{x ^{2} + 64}{x ^{2}} d x

\int + sin (5 x) cos (7 x) d x

\int \frac{1}{2} 9 - x^{2} d x