integral of 4x^3sqrt(x^2+2)

Lösung

\int 4 x^{3} x^{2} + 2 d x

4 (\frac{1}{5} (x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}}) + C

Schritte zur Lösung

\int 4 x^{3} x^{2} + 2 d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int x^{3} x^{2} + 2 d x

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int (u^{2} - 2) u^{2} d u

Multipliziere aus

(u^{2} - 2) u^{2} : u^{4} - 2 u^{2}

= 4 \cdot \int u^{4} - 2 u^{2} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (\int u^{4} d u - \int 2 u^{2} d u)

\int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{5}

\int 2 u^{2} d u = \frac{2 u ^{3}}{3}

= 4 (\frac{u ^{5}}{5} - \frac{2 u ^{3}}{3})

Setze in

u = x^{2} + 2

ein

= 4 (\frac{( x ^{2} + 2 ) ^{5}}{5} - \frac{2 ( x ^{2} + 2 ) ^{3}}{3})

Vereinfache

4 (\frac{( x ^{2} + 2 ) ^{5}}{5} - \frac{2 ( x ^{2} + 2 ) ^{3}}{3}) : 4 (\frac{1}{5} (x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}})

= 4 (\frac{1}{5} (x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (\frac{1}{5} (x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}}) + C

\int 9 ln (2 x) d x

\int x sin (x^{2}) cos (3 x^{2}) d x

\int cos (π) d x

\int 14 tan^{13} (x) sec^{2} (x) d x

\int - 6 sin (x) e^{x} d x