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integral of 1/(1+\sqrt[4]{x)}

解答

\int \frac{1}{1 + 4 x} d x

解答

4 (\frac{( 1 + 4 x ) ^{3}}{3} - \frac{3 ( 1 + 4 x ) ^{2}}{2} + 3 (1 + 4 x) - ln 1 + 4 x) + C

求解步骤

\int \frac{1}{1 + 4 x} d x

使用换元积分法

= \int \frac{4 u ^{3}}{1 + u} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{u ^{3}}{1 + u} d u

使用换元积分法

= 4 \cdot \int \frac{( v - 1 ) ^{3}}{v} d v

乘开

\frac{( v - 1 ) ^{3}}{v} : v^{2} - 3 v + 3 - \frac{1}{v}

= 4 \cdot \int v^{2} - 3 v + 3 - \frac{1}{v} d v

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (\int v^{2} d v - \int 3 v d v + \int 3 d v - \int \frac{1}{v} d v)

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

\int 3 v d v = \frac{3 v ^{2}}{2}

\int 3 d v = 3 v

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

= 4 (\frac{v ^{3}}{3} - \frac{3 v ^{2}}{2} + 3 v - ln ∣ v ∣)

代回

= 4 (\frac{( 1 + 4 x ) ^{3}}{3} - \frac{3 ( 1 + 4 x ) ^{2}}{2} + 3 (1 + 4 x) - ln 1 + 4 x)

解答补常数

= 4 (\frac{( 1 + 4 x ) ^{3}}{3} - \frac{3 ( 1 + 4 x ) ^{2}}{2} + 3 (1 + 4 x) - ln 1 + 4 x) + C

作图

流行的例子

integral of 1/(x^{7/4)}

\int \frac{1}{x ^{\frac{7}{4}}} d x

integral of (sqrt(64x^2-25))/(x^3)

\int \frac{64 x ^{2} - 25}{x ^{3}} d x

integral of ((x+1))/(sqrt(9-x^2))

\int \frac{( x + 1 )}{9 - x ^{2}} d x

integral of (3x-7)^{11}

\int (3 x - 7)^{11} d x

integral of-15sec(-3x)tan(-3x)sec^4(-3x)

\int - 15 sec (- 3 x) tan (- 3 x) sec^{4} (- 3 x) d x