интеграл от sqrt(9/((2+x)(3-x)))

Решение

\int \frac{9}{( 2 + x ) ( 3 - x )} d x

6 arcsin (\frac{1}{5} 2 + x) + C

Шаги решения

\int \frac{9}{( 2 + x ) ( 3 - x )} d x

Упростить

\frac{9}{( 2 + x ) ( 3 - x )} : \frac{3}{( 2 + x ) ( 3 - x )}

= \int \frac{3}{( 2 + x ) ( 3 - x )} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{( 2 + x ) ( 3 - x )} d x

Применить подстановку интеграла

= 3 \cdot \int \frac{1}{u ( - u + 5 )} d u

Примените правило возведения в степень:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

u (- u + 5) = u (- u + 5)

= 3 \cdot \int \frac{1}{u - u + 5} d u

Применить подстановку интеграла

= 3 \cdot \int \frac{2}{- v ^{2} + 5} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 5} d v

Примените тригонометрическую подстановку

= 3 \cdot 2 \cdot \int 1 d w

Интеграл константы:

\int a d x = a x

= 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot w

Делаем обратную замену

= 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot arcsin (\frac{1}{5} 2 + x)

После упрощения получаем

= 6 arcsin (\frac{1}{5} 2 + x)

Добавить константу к решению

= 6 arcsin (\frac{1}{5} 2 + x) + C