integral of sqrt(324-36x^2)

Lösung

\int 324 - 36 x^{2} d x

27 (arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))) + C

Schritte zur Lösung

\int 324 - 36 x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 54 cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 54 \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 54 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 54 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 54 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 54 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{6}{18} x)

ein

= 54 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{6}{18} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{6}{18} x)))

Vereinfache

54 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{6}{18} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{6}{18} x))) : 27 (arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{3})))

= 27 (arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{3})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 27 (arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{3}))) + C

\int \frac{cos ^{3} ( 6 x )}{sin ^{4} ( 6 x )} d x

\int sec (2 x + 4) d x

\int \frac{x ^{2}}{( 16 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} d x

\int \frac{2 x ^{2} - 3}{x ^{2} + 5 x} d x

\int \frac{x ^{3}}{4 x ^{2} + 9} d x