integral de 1/((x^2+a) 3/2)

Solución

\int \frac{1}{( x ^{2} + a ) \frac{3}{2}} d x

\frac{2}{3 a} arctan (\frac{1}{a} x) + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{( x ^{2} + a ) \frac{3}{2}} d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot \int \frac{1}{x ^{2} + a} d x

Simplificar

= \frac{2}{3} \cdot \int \frac{1}{x ^{2} + a} d x

x^{2} + a = a (\frac{x ^{2}}{a} + 1)

= \frac{2}{3} \cdot \int \frac{1}{a ( \frac{x ^{2}}{a} + 1 )} d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{\frac{x ^{2}}{a} + 1} d x

Aplicar integración por sustitución

= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot \int \frac{a}{u ^{2} + 1} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a} a \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u

Aplicar la regla de integración:

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = arctan (u)

= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a} a arctan (u)

Sustituir en la ecuación

u = \frac{1}{a} x

= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a} a arctan (\frac{1}{a} x)

Simplificar

\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a} a arctan (\frac{1}{a} x) : \frac{2}{3 a} arctan (\frac{1}{a} x)

= \frac{2}{3 a} arctan (\frac{1}{a} x)

Agregar una constante a la solución

= \frac{2}{3 a} arctan (\frac{1}{a} x) + C

\int 3^{x} cos (2 x) d x

\int \frac{2 x}{x ^{2} - 5} d x

\int \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{3 + cos ^{2} ( θ )} d θ

\int \frac{4 x + 10}{( x - 2 ) ( x - 1 ) ^{2}} d x

\int \frac{t ^{2}}{t ^{3} - π ^{3}} d t