integral de 1/((tan(x)+1)sin^2(x))

Solución

\int \frac{1}{( tan ( x ) + 1 ) sin ^{2} ( x )} d x

- ln ∣ tan (x) ∣ - cot (x) + ln ∣ tan (x) + 1 ∣ + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{( tan ( x ) + 1 ) sin ^{2} ( x )} d x

Aplicar integración por sustitución trigonométrica

: \int \frac{1}{u ^{2} ( u + 1 )} d u

= \int \frac{1}{u ^{2} ( u + 1 )} d u

Tomar la fracción parcial de

\frac{1}{u ^{2} ( u + 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u + 1}

= \int - \frac{1}{u} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u + 1} d u

Aplicar la regla de la suma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{u ^{2}} d u + \int \frac{1}{u + 1} d u

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

\int \frac{1}{u + 1} d u = ln ∣ u + 1 ∣

= - ln ∣ u ∣ - \frac{1}{u} + ln ∣ u + 1 ∣

Sustituir en la ecuación

u = tan (x)

= - ln ∣ tan (x) ∣ - \frac{1}{tan ( x )} + ln ∣ tan (x) + 1 ∣

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{1}{tan ( x )} = cot (x)

= - ln ∣ tan (x) ∣ - cot (x) + ln ∣ tan (x) + 1 ∣

Agregar una constante a la solución

= - ln ∣ tan (x) ∣ - cot (x) + ln ∣ tan (x) + 1 ∣ + C

\int \frac{9 - w ^{2}}{( w + 1 ) ( 3 w - 5 ) ( w + 4 )} d w

\int cos^{4} (10 x) d x

\int (2 x + 3) (x^{2} + 3 x + 5)^{4} d x

\int 6 x sin (2 - 3 x) d x

\int \frac{x ^{- 2}}{- 2} d x