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integral de 1/(xsqrt(2x-x^2))

Solución

\int \frac{1}{x 2 x - x ^{2}} d x

- \frac{2}{tan ( \frac{1}{2} arcsin ( x - 1 ) ) + 1} + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{x 2 x - x ^{2}} d x

Completar el cuadrado

2 x - x^{2} : - (x - 1)^{2} + 1

= \int \frac{1}{x - ( x - 1 ) ^{2} + 1} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{( u + 1 ) - u ^{2} + 1} d u

= \int \frac{1}{( u + 1 ) - u ^{2} + 1} d u

Aplicar integración por sustitución trigonométrica

: \int \frac{1}{sin ( v ) + 1} d v

= \int \frac{1}{sin ( v ) + 1} d v

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{2}{2 w + 1 + w ^{2}} d w

= \int \frac{2}{2 w + 1 + w ^{2}} d w

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 w + 1 + w ^{2}} d w

Completar el cuadrado

2 w + 1 + w^{2} : (w + 1)^{2}

= 2 \cdot \int \frac{1}{( w + 1 ) ^{2}} d w

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{t ^{2}} d t

= 2 \cdot \int \frac{1}{t ^{2}} d t

Aplicar la regla de la potencia

: - \frac{1}{t}

= 2 (- \frac{1}{t})

Sustitución hacia atrás

= 2 - \frac{1}{tan ( \frac{a r c s i n ( x - 1 )}{2} ) + 1}

Simplificar

2 - \frac{1}{tan ( \frac{a r c s i n ( x - 1 )}{2} ) + 1} : - \frac{2}{tan ( \frac{1}{2} arcsin ( x - 1 ) ) + 1}

= - \frac{2}{tan ( \frac{1}{2} arcsin ( x - 1 ) ) + 1}

Agregar una constante a la solución

= - \frac{2}{tan ( \frac{1}{2} arcsin ( x - 1 ) ) + 1} + C

\int \frac{6 x ^{2} + x - 3}{x ^{3} - x} d x

\int \frac{1}{9 t ^{2} + 4} d t

\int \frac{3 sin ( x ) + 2}{2 sin ( x ) + 3} d x

\int \frac{2}{( x - \frac{1}{x} ) x ^{4} - 2 x ^{2} - 8} d x