integral of 5x^3sqrt(x^2+2)

Lösung

\int 5 x^{3} x^{2} + 2 d x

(x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{10}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int 5 x^{3} x^{2} + 2 d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int x^{3} x^{2} + 2 d x

Wende U-Substitution an

= 5 \cdot \int (u^{2} - 2) u^{2} d u

Multipliziere aus

(u^{2} - 2) u^{2} : u^{4} - 2 u^{2}

= 5 \cdot \int u^{4} - 2 u^{2} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 5 (\int u^{4} d u - \int 2 u^{2} d u)

\int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{5}

\int 2 u^{2} d u = \frac{2 u ^{3}}{3}

= 5 (\frac{u ^{5}}{5} - \frac{2 u ^{3}}{3})

Setze in

u = x^{2} + 2

ein

= 5 (\frac{( x ^{2} + 2 ) ^{5}}{5} - \frac{2 ( x ^{2} + 2 ) ^{3}}{3})

Vereinfache

5 (\frac{( x ^{2} + 2 ) ^{5}}{5} - \frac{2 ( x ^{2} + 2 ) ^{3}}{3}) : (x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{10}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}}

= (x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{10}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= (x^{2} + 2)^{\frac{5}{2}} - \frac{10}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} + C

\int - 3 (t + 2)^{- 2} d t

\int \frac{5}{x ( x ^{2} + 6 ) ^{2}} d x

\int \frac{( y - 3 )}{y ^{2} - 6 y + 1} d y

\int cos^{6} (\frac{x}{2}) sin^{4} (\frac{x}{2}) d x

\int \frac{sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) + cos ( θ ) - 2} d θ