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integral of sqrt(x)sqrt(36-x)

Lösung

\int x 36 - x d x

162 (arcsin (\frac{1}{18} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{18} x - 1))) + C

Schritte zur Lösung

\int x 36 - x d x

Wende Exponentenregel an:

a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}

x 36 - x = x (36 - x)

= \int x (36 - x) d x

Multipliziere aus

x (36 - x) : 36 x - x^{2}

= \int 36 x - x^{2} d x

Vervollständige das Quadrat

36 x - x^{2} : - (x - 18)^{2} + 324

= \int - (x - 18)^{2} + 324 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 324 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 324 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 324 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 324 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 324 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 324 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 324 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 324 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{18} (x - 18)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{18} (x - 18))))

Vereinfache

324 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{18} (x - 18)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{18} (x - 18)))) : 162 (arcsin (\frac{1}{18} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{18} x - 1)))

= 162 (arcsin (\frac{1}{18} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{18} x - 1)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 162 (arcsin (\frac{1}{18} x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{18} x - 1))) + C

\int (2 x^{- 2} + 4) d x

\int θ arctan (θ) d θ

\int \frac{6 x ^{2} + 8}{2 x ^{3} + 8 x} d x

\int - 2 x e^{3 x} d x

\int \frac{1}{x ^{2} - 2 x - 4} d x