integral of (v^2)/(v^6-1)

Lösung

\int \frac{v ^{2}}{v ^{6} - 1} d v

- \frac{1}{6} (ln v^{3} + 1 - ln v^{3} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{v ^{2}}{v ^{6} - 1} d v

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{3 ( u ^{2} - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= \frac{1}{3} (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = v^{3}

ein

= \frac{1}{3} (- (\frac{ln v ^{3} + 1}{2} - \frac{ln v ^{3} - 1}{2}))

Vereinfache

\frac{1}{3} (- (\frac{ln v ^{3} + 1}{2} - \frac{ln v ^{3} - 1}{2})) : - \frac{1}{6} (ln v^{3} + 1 - ln v^{3} - 1)

= - \frac{1}{6} (ln v^{3} + 1 - ln v^{3} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{6} (ln v^{3} + 1 - ln v^{3} - 1) + C

\int u arctan (u) d u

\int \frac{2}{5 - 2 x} d x

\int sin (x) (tan (x) - cot (x))^{2} d x

\int 5 sec^{2} (2 x) d x

\int 6 sin^{2} (x) cos^{5} (x) d x