integral of ((1-e^{ax})/(e^{ax)})

解

\int (\frac{1 - e ^{a x}}{e ^{a x}}) d x

\frac{x}{e ^{a x}} - e^{- a x} x - \frac{e ^{- a x}}{a} - x + C

解答ステップ

\int \frac{1 - e ^{a x}}{e ^{a x}} d x

拡張

\frac{1 - e ^{a x}}{e ^{a x}} : \frac{1}{e ^{a x}} - 1

= \int \frac{1}{e ^{a x}} - 1 d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{e ^{a x}} d x - \int 1 d x

\int \frac{1}{e ^{a x}} d x = \frac{x}{e ^{a x}} - e^{- a x} x - \frac{e ^{- a x}}{a}

\int 1 d x = x

= \frac{x}{e ^{a x}} - e^{- a x} x - \frac{e ^{- a x}}{a} - x

定数を解答に追加する

= \frac{x}{e ^{a x}} - e^{- a x} x - \frac{e ^{- a x}}{a} - x + C