integral of 3sin^5(x)cos^4(x)

Lösung

\int 3 sin^{5} (x) cos^{4} (x) d x

3 (- \frac{cos ^{5} ( x )}{5} + \frac{2 cos ^{7} ( x )}{7} - \frac{cos ^{9} ( x )}{9}) + C

Schritte zur Lösung

\int 3 sin^{5} (x) cos^{4} (x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int sin^{5} (x) cos^{4} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \cdot \int (1 - cos^{2} (x))^{2} sin (x) cos^{4} (x) d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int - u^{4} (1 - u^{2})^{2} d u

Multipliziere aus

- u^{4} (1 - u^{2})^{2} : - u^{4} + 2 u^{6} - u^{8}

= 3 \cdot \int - u^{4} + 2 u^{6} - u^{8} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (- \int u^{4} d u + \int 2 u^{6} d u - \int u^{8} d u)

\int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{5}

\int 2 u^{6} d u = \frac{2 u ^{7}}{7}

\int u^{8} d u = \frac{u ^{9}}{9}

= 3 (- \frac{u ^{5}}{5} + \frac{2 u ^{7}}{7} - \frac{u ^{9}}{9})

Setze in

u = cos (x)

ein

= 3 (- \frac{cos ^{5} ( x )}{5} + \frac{2 cos ^{7} ( x )}{7} - \frac{cos ^{9} ( x )}{9})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 3 (- \frac{cos ^{5} ( x )}{5} + \frac{2 cos ^{7} ( x )}{7} - \frac{cos ^{9} ( x )}{9}) + C

\int cos (\frac{1}{5}) x d x

\int \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) \cdot ( x ^{2} + 4 )} d x

\int 3 d^{4} ddd

\int 7 e^{t} - e^{3} d t

\int \frac{x ^{3} + x ^{2} + 8 x + 7}{6 - x ^{2} - x ^{4}} d x