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integral of sqrt(x/(4-x))

解答

\int \frac{x}{4 - x} d x

解答

- x 4 - x + 4 arctan (\frac{x}{4 - x}) + C

求解步骤

\int \frac{x}{4 - x} d x

使用换元积分法

= \int - \frac{- u + 4}{u} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{- u + 4}{u} d u

乘开

\frac{- u + 4}{u} : - 1 + \frac{4}{u}

= - \int - 1 + \frac{4}{u} d u

使用换元积分法

= - \int - \frac{4 v - 1}{v ^{2}} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- 4 \cdot \int \frac{v - 1}{v ^{2}} d v)

使用分布积分法

= - (- 4 (- \frac{v - 1}{v} - \int - \frac{1}{2 v v - 1} d v))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- 4 (- \frac{v - 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v v - 1} d v)))

使用换元积分法

= - (- 4 (- \frac{v - 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2}{w ^{2} + 1} d w)))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- 4 (- \frac{v - 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w)))

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= - (- 4 (- \frac{v - 1}{v} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 arctan (w))))

代回

= - - 4 - \frac{\frac{4}{4 - x} - 1}{\frac{4}{4 - x}} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 arctan (\frac{4}{4 - x} - 1))

化简

- - 4 - \frac{\frac{4}{4 - x} - 1}{\frac{4}{4 - x}} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 arctan (\frac{4}{4 - x} - 1)) : - x 4 - x + 4 arctan (\frac{x}{4 - x})

= - x 4 - x + 4 arctan (\frac{x}{4 - x})

解答补常数

= - x 4 - x + 4 arctan (\frac{x}{4 - x}) + C

作图

流行的例子

integral of 1/(xe^{2x)}

\int \frac{1}{x e ^{2 x}} d x

integral of (x^3)/(sqrt(36x^2+1296))

\int \frac{x ^{3}}{36 x ^{2} + 1296} d x

integral of (sqrt(x^2+9))/(x^3)

\int \frac{x ^{2} + 9}{x ^{3}} d x

integral of (cot(5x)+csc(5x))^2

\int (cot (5 x) + csc (5 x))^{2} d x

integral of (x^4-xarctan(x))/((1+x^2)^2)

\int \frac{x ^{4} - x arctan ( x )}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x