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integral of (cos(x))/(8sin^2(x)+9sin(x))

Lösung

\int \frac{cos ( x )}{8 sin ^{2} ( x ) + 9 sin ( x )} d x

- \frac{1}{9} (ln \frac{16}{9} sin (x) + 2 - ln (\frac{16}{9} ∣ sin (x) ∣)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{cos ( x )}{8 sin ^{2} ( x ) + 9 sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{8 u ^{2} + 9 u} d u

Vervollständige das Quadrat

8 u^{2} + 9 u : 8 (u + \frac{9}{16})^{2} - \frac{81}{32}

= \int \frac{1}{8 ( u + \frac{9}{16} ) ^{2} - \frac{81}{32}} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{32}{256 v ^{2} - 81} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 32 \cdot \int \frac{1}{256 v ^{2} - 81} d v

Wende integrale Substitution an

= 32 \cdot \int \frac{1}{144 ( w ^{2} - 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 32 \cdot \frac{1}{144} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} - 1} d w

Faktorisiere

w^{2} - 1 : - (- w^{2} + 1)

= 32 \cdot \frac{1}{144} \cdot \int \frac{1}{- ( - w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 32 \cdot \frac{1}{144} (- \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 32 \cdot \frac{1}{144} (- (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 32 \cdot \frac{1}{144} (- (\frac{ln \frac{16}{9} ( sin ( x ) + \frac{9}{16} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{16}{9} ( sin ( x ) + \frac{9}{16} ) - 1}{2}))

Vereinfache

32 \cdot \frac{1}{144} (- (\frac{ln \frac{16}{9} ( sin ( x ) + \frac{9}{16} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{16}{9} ( sin ( x ) + \frac{9}{16} ) - 1}{2})) : - \frac{1}{9} (ln \frac{16}{9} sin (x) + 2 - ln (\frac{16}{9} ∣ sin (x) ∣))

= - \frac{1}{9} (ln \frac{16}{9} sin (x) + 2 - ln (\frac{16}{9} ∣ sin (x) ∣))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{9} (ln \frac{16}{9} sin (x) + 2 - ln (\frac{16}{9} ∣ sin (x) ∣)) + C

\int \frac{x - 3}{x ^{2} + 5 x + 6} d x

\int \frac{e ^{y}}{e ^{y} - 1} d y

\int \frac{1}{x ( 7 + ln ( x ^{2} ) )} d x

\int \frac{ln ( x e ^{x} )}{x} d x

\int \frac{3}{sec ^{2} ( 5 x )} d x