integral of ((3x-1))/(sqrt(x^2+2x+2))

Lösung

\int \frac{( 3 x - 1 )}{x ^{2} + 2 x + 2} d x

3 x^{2} + 2 x + 2 - 4 ln x^{2} + 2 x + 2 + x + 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3 x - 1}{x ^{2} + 2 x + 2} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 2 x + 2 : (x + 1)^{2} + 1

= \int \frac{3 x - 1}{( x + 1 ) ^{2} + 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{3 u - 4}{u ^{2} + 1} d u

Multipliziere aus

\frac{3 u - 4}{u ^{2} + 1} : \frac{3 u}{u ^{2} + 1} - \frac{4}{u ^{2} + 1}

= \int \frac{3 u}{u ^{2} + 1} - \frac{4}{u ^{2} + 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{3 u}{u ^{2} + 1} d u - \int \frac{4}{u ^{2} + 1} d u

\int \frac{3 u}{u ^{2} + 1} d u = 3 u^{2} + 1

\int \frac{4}{u ^{2} + 1} d u = 4 ln u^{2} + 1 + u

= 3 u^{2} + 1 - 4 ln u^{2} + 1 + u

Setze in

u = x + 1

ein

= 3 (x + 1)^{2} + 1 - 4 ln (x + 1)^{2} + 1 + x + 1

Vereinfache

3 (x + 1)^{2} + 1 - 4 ln (x + 1)^{2} + 1 + x + 1 : 3 x^{2} + 2 x + 2 - 4 ln x^{2} + 2 x + 2 + x + 1

= 3 x^{2} + 2 x + 2 - 4 ln x^{2} + 2 x + 2 + x + 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 3 x^{2} + 2 x + 2 - 4 ln x^{2} + 2 x + 2 + x + 1 + C

\int \frac{3 x + 1}{x + 1} d x

\int \frac{- 8 x + 16}{( x ^{2} + 1 ) ( x - 1 )} d x

\int \frac{x [ ln ( 1 + x ) + ln ( 1 - x ) ]}{x ^{2} - 1} d x

\int 3 1 + x^{2} \cdot 2 x d x

\int \frac{1}{x ^{2 - 9}} d x