integral of (2-x)(1+x)(1-x)^{3/2}

解

\int (2 - x) (1 + x) (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x

\frac{2}{5} x^{2} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x (- x + 1)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{45} x (- x + 1)^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{63} (- x + 1)^{\frac{7}{2}} + C

解答ステップ

\int (2 - x) (1 + x) (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x

拡張

(2 - x) (1 + x) (1 - x)^{\frac{3}{2}} : 2 (1 - x)^{\frac{3}{2}} + x (1 - x)^{\frac{3}{2}} - x^{2} (1 - x)^{\frac{3}{2}}

= \int 2 (1 - x)^{\frac{3}{2}} + x (1 - x)^{\frac{3}{2}} - x^{2} (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 2 (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x + \int x (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x - \int x^{2} (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x

\int 2 (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x = - \frac{4}{5} (1 - x)^{\frac{5}{2}}

\int x (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x = - \frac{2}{5} x (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{35} (1 - x)^{\frac{7}{2}}

\int x^{2} (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x = - \frac{2}{5} x^{2} (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{315} (7 x + 2) (- x + 1)^{\frac{7}{2}}

= - \frac{4}{5} (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{35} (1 - x)^{\frac{7}{2}} - (- \frac{2}{5} x^{2} (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{315} (7 x + 2) (- x + 1)^{\frac{7}{2}})

簡素化

- \frac{4}{5} (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{35} (1 - x)^{\frac{7}{2}} - (- \frac{2}{5} x^{2} (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{315} (7 x + 2) (- x + 1)^{\frac{7}{2}}) : \frac{2}{5} x^{2} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x (- x + 1)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{45} x (- x + 1)^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{63} (- x + 1)^{\frac{7}{2}}

= \frac{2}{5} x^{2} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x (- x + 1)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{45} x (- x + 1)^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{63} (- x + 1)^{\frac{7}{2}}

定数を解答に追加する

= \frac{2}{5} x^{2} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x (- x + 1)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{45} x (- x + 1)^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{63} (- x + 1)^{\frac{7}{2}} + C