integral of (2-x)(1+x)(1-x)^{3/2}

解答

\int (2 - x) (1 + x) (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x

\frac{2}{5} x^{2} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x (- x + 1)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{45} x (- x + 1)^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{63} (- x + 1)^{\frac{7}{2}} + C

求解步骤

\int (2 - x) (1 + x) (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x

乘开

(2 - x) (1 + x) (1 - x)^{\frac{3}{2}} : 2 (1 - x)^{\frac{3}{2}} + x (1 - x)^{\frac{3}{2}} - x^{2} (1 - x)^{\frac{3}{2}}

= \int 2 (1 - x)^{\frac{3}{2}} + x (1 - x)^{\frac{3}{2}} - x^{2} (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 2 (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x + \int x (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x - \int x^{2} (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x

\int 2 (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x = - \frac{4}{5} (1 - x)^{\frac{5}{2}}

\int x (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x = - \frac{2}{5} x (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{35} (1 - x)^{\frac{7}{2}}

\int x^{2} (1 - x)^{\frac{3}{2}} d x = - \frac{2}{5} x^{2} (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{315} (7 x + 2) (- x + 1)^{\frac{7}{2}}

= - \frac{4}{5} (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{35} (1 - x)^{\frac{7}{2}} - (- \frac{2}{5} x^{2} (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{315} (7 x + 2) (- x + 1)^{\frac{7}{2}})

化简

- \frac{4}{5} (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{35} (1 - x)^{\frac{7}{2}} - (- \frac{2}{5} x^{2} (1 - x)^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{315} (7 x + 2) (- x + 1)^{\frac{7}{2}}) : \frac{2}{5} x^{2} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x (- x + 1)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{45} x (- x + 1)^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{63} (- x + 1)^{\frac{7}{2}}

= \frac{2}{5} x^{2} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x (- x + 1)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{45} x (- x + 1)^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{63} (- x + 1)^{\frac{7}{2}}

解答补常数

= \frac{2}{5} x^{2} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} x (- x + 1)^{\frac{5}{2}} + \frac{8}{45} x (- x + 1)^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} (- x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{63} (- x + 1)^{\frac{7}{2}} + C

\int \frac{( 3 x + 2 ) ( x - 4 )}{x - 3} d x

\int x^{2} + 8 x^{5} d x

\int \frac{x}{- 9 x ^{2} + 24 x + 20} d x

\int 7 x csc (x^{2}) d x

\int cos (s^{3}) d s