integral of (1+2e^{3x})^3e^{3x}

解

\int (1 + 2 e^{3 x})^{3} e^{3 x} d x

\frac{1}{3} e^{3 x} + e^{6 x} + \frac{4}{3} e^{9 x} + \frac{2}{3} e^{12 x} + C

解答ステップ

\int (1 + 2 e^{3 x})^{3} e^{3 x} d x

拡張

(1 + 2 e^{3 x})^{3} e^{3 x} : e^{3 x} + 6 e^{6 x} + 12 e^{9 x} + 8 e^{12 x}

= \int e^{3 x} + 6 e^{6 x} + 12 e^{9 x} + 8 e^{12 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{3 x} d x + \int 6 e^{6 x} d x + \int 12 e^{9 x} d x + \int 8 e^{12 x} d x

\int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x}

\int 6 e^{6 x} d x = e^{6 x}

\int 12 e^{9 x} d x = \frac{4}{3} e^{9 x}

\int 8 e^{12 x} d x = \frac{2}{3} e^{12 x}

= \frac{1}{3} e^{3 x} + e^{6 x} + \frac{4}{3} e^{9 x} + \frac{2}{3} e^{12 x}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{3} e^{3 x} + e^{6 x} + \frac{4}{3} e^{9 x} + \frac{2}{3} e^{12 x} + C