интеграл от (csc^4(x))/(cot^6(x))

Решение

\int \frac{csc ^{4} ( x )}{cot ^{6} ( x )} d x

\frac{tan ^{3} ( x )}{3} + \frac{tan ^{5} ( x )}{5} + C

Шаги решения

\int \frac{csc ^{4} ( x )}{cot ^{6} ( x )} d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{tan ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )} d x

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

\frac{1}{cos ( x )} = sec (x)

= \int sec^{4} (x) tan^{2} (x) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int (1 + tan^{2} (x)) sec^{2} (x) tan^{2} (x) d x

Применить подстановку интеграла

= \int u^{2} (1 + u^{2}) d u

Расширить

u^{2} (1 + u^{2}) : u^{2} + u^{4}

= \int u^{2} + u^{4} d u

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int u^{2} d u + \int u^{4} d u

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

\int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{5}

= \frac{u ^{3}}{3} + \frac{u ^{5}}{5}

Делаем обратную замену

u = tan (x)

= \frac{tan ^{3} ( x )}{3} + \frac{tan ^{5} ( x )}{5}

Добавить константу к решению

= \frac{tan ^{3} ( x )}{3} + \frac{tan ^{5} ( x )}{5} + C