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integral of (cos(x))/(7sin^2(x)+8sin(x))

Lösung

\int \frac{cos ( x )}{7 sin ^{2} ( x ) + 8 sin ( x )} d x

- \frac{1}{8} (ln \frac{7}{4} sin (x) + 2 - ln (\frac{7}{4} ∣ sin (x) ∣)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{cos ( x )}{7 sin ^{2} ( x ) + 8 sin ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{7 u ^{2} + 8 u} d u

Vervollständige das Quadrat

7 u^{2} + 8 u : 7 (u + \frac{4}{7})^{2} - \frac{16}{7}

= \int \frac{1}{7 ( u + \frac{4}{7} ) ^{2} - \frac{16}{7}} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{7}{49 v ^{2} - 16} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 7 \cdot \int \frac{1}{49 v ^{2} - 16} d v

Wende integrale Substitution an

= 7 \cdot \int \frac{1}{28 ( w ^{2} - 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 7 \cdot \frac{1}{28} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} - 1} d w

Faktorisiere

w^{2} - 1 : - (- w^{2} + 1)

= 7 \cdot \frac{1}{28} \cdot \int \frac{1}{- ( - w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 7 \cdot \frac{1}{28} (- \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 7 \cdot \frac{1}{28} (- (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 7 \cdot \frac{1}{28} (- (\frac{ln \frac{7}{4} ( sin ( x ) + \frac{4}{7} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{7}{4} ( sin ( x ) + \frac{4}{7} ) - 1}{2}))

Vereinfache

7 \cdot \frac{1}{28} (- (\frac{ln \frac{7}{4} ( sin ( x ) + \frac{4}{7} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{7}{4} ( sin ( x ) + \frac{4}{7} ) - 1}{2})) : - \frac{1}{8} (ln \frac{7}{4} sin (x) + 2 - ln (\frac{7}{4} ∣ sin (x) ∣))

= - \frac{1}{8} (ln \frac{7}{4} sin (x) + 2 - ln (\frac{7}{4} ∣ sin (x) ∣))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{8} (ln \frac{7}{4} sin (x) + 2 - ln (\frac{7}{4} ∣ sin (x) ∣)) + C

\int \frac{1}{( e ^{x} + 1 ) ^{2} e ^{- x}} d x

\int \frac{x ^{2}}{2} \frac{1}{1 + x ^{2}} d x

\int (2 x^{2} - x + 3) d x

\int \frac{x ^{2} - x + 5}{x + 3} d x

\int \frac{x - x ^{- 3}}{x ^{2} + x ^{- 2}} d x